MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
1
MODUL PEMBELAJARAN I
V E K T O R Kompetensi Dasar :
1. Mahasiswa bisa memahami perbedaan besaran
vektor dan skalar serta menunjukkan contohcontohnya
dalam kehidupan sehari-hari,
2. Mahasiswa bisa melaksanakan operasi
penjumlahan dan perkalian vektor serta
memahami aplikasinya dalam menyelesaikan
berbagai masalah fisika.
1. SKALAR dan VEKTOR
Beberapa besaran fisika ibarat massa, waktu dan suhu sudah cukup jika
dinyatakan dengan suatu bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan
besarnya nilai besaran tersebut. Tetapi banyak besaran lain yang harus
menyertakan masalah arah untuk mendeskripsikan secara lengkap makna
besaran tersebut. Sebagai misal kecepatan sebuah kereta api, untuk
mendeskripsikan gerak tersebut, kita belum cukup hanya menyampaikan seberapa
cepat kereta api berjalan, namun pada ketika bersamaan kita harus mengatakan
ke arah mana kereta bergerak. Tanpa menyebutkan arah gerak kereta, kita
belum memperoleh warta yang bermakna wacana gerak tersebut.
Berdasarkan warta di atas, besaran-besaran fisika kalau ditinjau dari
pengaruh arah terhadap besaran tersebut sanggup dikelompokkan menjadi :
a. Besaran Skalar : besaran yang cukup dinyatakan besarnya saja
(tidak tergantung pada arah). Misalnya : massa, waktu, suhu dsb.
b. Besaran Vektor : besaran yang tergantung pada arah. Misalnya :
kecepatan, gaya, momentum dsb.
Tugas 1
Sebutkan setidaknya sepuluh besaran fisika, lalu kelompokan besaranbesaran
tersebut dalam kategori besaran skalar atau besaran vektor !
Kategori
No Besaran
Skalar Vektor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
2
2. NOTASI VEKTOR
Kita akan mulai mendalami vektor dari sebuah besaran vektor yang paling
sederhana, yaitu perpindahan (dicplacment). Perpindahan didefinisikan
sebagai perubahan posisi dari suatu titik. Deskripsi berikut ini akan lebih
memperjelas pemahaman kita wacana vektor.
Sebuah benda bergerak dari titik A ke titik B melewati sebuah lintasan
lengkung (gambar 1.2a). Vektor perpindahan gerak tersebut ditunjukan oleh
garis terpendek (lurus) dari A ke B (gambar 1.2b) yang berikutnya kita beri
nama sebagai vektor perpindahan R (gambar 1.2c).
Gambar 1.2a Gambar 1.2b Gambar 1.2c
2.1. Notasi Geometris
Notasi geometris yaitu sebuah metode untuk menganalisis vektor dengan
cara menampilkannya dalam bentuk gambar.
2.1.1. Penamaan sebuah vektor
Cara penulisan vektor sanggup dilakukan dengan beberapa cara sebagai berikut :
dengan aksara tebal R atau r
dengan tanda R atau r
r r
2.1.2. Penggambaran vektor :
Vektor digambarkan dengan suatu anak panah (gambar 1.2d).
r
R R
r
Gamabar 1.2d
Panjang anak panah membuktikan besar vektor, sedangkan arah anak panah
menunjukan arah vektor. Kita bisa menggambarkan negatif dari masingmasing
vektor sebagaimana ditunjukan pada Gambar 1.2e.
-r
-R -R
r
Gambar 1.2e
A
B
R
A
B
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
3
2.2. Notasi Analitis
Notasi analitis dipakai untuk menganalisa vektor dengan cara menguraikan
vektor tersebut dalam komponen-komponen penyusunnya. Sebuah vektor a
dalam koordinat kartesian (dua sumbu : x dan y) sanggup dinyatakan dalam
komponen-komponennya, yaitu komponan pada arah sumbu x dan komponen
pada arah sumbu y. Secara lebih terperinci sanggup dilihat pada gambar 1.2f.
z
Gambar 1.2f Gambar 1.2g
ay : besar komponen vektor a dalam arah sumbu y
ax : besar komponen vektor a dalam arah sumbu x
Vektor arah /vektor satuan: yaitu vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai
dengan yang didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian : i, j, k yang
masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan
sumbu z (gambar 1.2g). Sehingga secara analitik vektor a sanggup ditulis :
a a i a j x y
= ˆ + ˆ
r
........................................................................................... 1.1
dan besar vektor a yaitu :
2 2
x y a = a + a ....................................................................................... 1.2
Tugas 2
Sebuah benda bergerak dari posisi awal (0,0) berhenti pada koordinat (4,5). a)
Gambarkan keadaan tersebut dalam koordinat kartesian, b) tentukan vektor
perpindahan gerak tersebut, dan c) tentukan besar perpindahaan gerak
tersebut.
y
x
a
ax
ay
z
y
x
i j
k
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
4
3. OPERASI VEKTOR
Besaran vektor, sebagaimana besaran skalar sanggup dioperasikan secara
matematis, baik operasi penjumlahan maupun perkalian. Namun demikian
operasi vektor mempunyai beberapa perbedaan dengan operasi skalar karena
dalam operasi vektor kita tidak hanya memperhitungkan besar namun juga
sekaligus arahnya. Simaklah uraian di bawah ini untuk melihat perbedaanperbedaannya!
3.1. Operasi penjumlahan
Disediakan dua buah vektor A dan B sebagaimana ditunjukan pada
gambar 1.3 di bawah ini :
A
B
Gambar 1.3
Kita akan menjumlahkan kedua vektor (A+B) sehingga akan menghasilkan
sebuah vektor gres (C) yang merupakan resultan vektor A dan B. Tanda
positif (+) dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan. Kaprikornus A + B
mempunyai arti vektor A dilanjutkan oleh vektor B. Secara geometris dapat
digambarkan sebagai berikut :
B
A
C
Gambar 1.3a
Opersai pengurangan sanggup dijabarkan dari operasi penjumlahan dengan
menyatakan negatif dari suatu vektor :
B - A = B + (-A)....................................................................................... 1.3
A -A
B
B
B-A -A
Gambar 1.3b
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
5
Tugas 3
Disediakan 3 buah vektor A, B dan C berikut:
Gambarkan penjumlahan dan pengurangan vektor : a) A + B, b) A + C,
c) A – B, d) A + B - C
Berikut akan disajikan beberapa aturan dalam operasi penjumlahan vektor :
a. Hukum komutatif
Sebuah partikel mengalmi perpindahan A, dilanjutkan dengan perpindahan
B. Hasil balasannya yaitu perpindahan C. Seandainya partikel tersebut
terlebih dahulu mengalami perpindahan B, dilanjutkan dengan melakukan
perpindahan A, maka hasil akhirnyapun perpindahan C. Amati kenyataan
tersebut pada gambar di bawah ini :
B
A C A
B
Gambar 1.3c
Hukum komutatif dalam operasi penjumlahan vektor menyatakan bahwa:
A + B = B + A.................................................................................... 1.4
Kenyataan ini membuktikan bahwa urutan suku dalam penjumlahan vektor
tidaklah berpengaruh.
A
B
C
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
6
b. Hukum Asosiatif
Hukum Asosiatif dalam operasi penjumlahan sanggup dinyatakan sebagai
berikut :
(A + B) + C = A + (B + C) = R......................................................... 1.5
B
A
C
Gambar 1.3d
Vektor A dan B sebagaimana yang sudah dicontohkan di atas, jika
dinyatakan secara analitis sanggup ditunjukan dalam bentuk:
B B i B j B k
A A i A j A k
x y z
x y z
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
= + +
= + +
............................................................................. 1.6
Maka opersasi penjumlahan/pengurangan vektor yang dinyatakan secara
analitik sanggup dilakukan dengan cara menjumlah/mengurangi komponenkomponen
yang searah sebagai berikut :
A B A B i A B j A B k
A B A B i A B j A B k
x x y y z z
x x y y z z
( )ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ
( )ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ
− = − + − + −
+ = + + + + +
.................................... 1.7
Tugas 4
Dua buah vektor :
B i j k
A i j k
ˆ ˆ 4 ˆ
4ˆ 3 ˆ ˆ
= − + +
= − +
r
r
Tentukan a) A + B; b) A – B; c) Vektor C semoga A – B + C = 0
(A+B)
(B+C)
R
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
7
3.2. Opersai Perkalian
Besaran vektor alasannya yaitu karakteristiknya yang khas yaitu mempunyai arah
disamping juga mempunyai besar membawa konsekuensi pada operasi
perkaliannya. Operasi perkalian biasa tidak sanggup eksklusif diterapkan pada
vektor. Kita akan mendefinisikan dua macam perkalian vektor, yaitu perkalian
vektor dengan skalar dan perkalian vektor dengan vektor.
3.2.1. Perkalian vektor dengan skalar
Jika sebuah vektor dikalikan dengan suatu skalar maka akan diperoleh sebuah
vektor baru. Jika A dan B yaitu vektor dan k yaitu sebuah skalar maka,
B = k A
Besar vektor B yaitu k kali besar vektor A, sedangkan arah vektor B sama
dengan arah vektor A bila k positip dan berlawanan bila k negatif. Dalam
fisika kita menjumpai operasi semacam ini misalnya:
F = qE ;
q yaitu muatan listrik, sanggup bermuatan positip atau negatif sehingga arah F
tergantung tanda muatan tersebut, sedangkan besar F yaitu q kali besar E.
Contoh lain perkalian besaran vektor dengan skalar dalam fisika yaitu :
F = ma, p = mv, dsb dimana m : skalar dan a,v : vektor.
3.2.2. Perkalian vektor dengan vektor
Perkalian vektor dengan vektor sanggup diklasifikasi menjadi dua macam, yaitu
perkalian vektor yang akan menghasilkan skalar dan perkalian vektor yang
akan menghasilkan vektor lain.
3.2.2.1. Perkalian titik (dot product)
Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar (scalar product). Hal itu
dikarenakan perkalian tersebut akan menghasilkan skalar meskipun kedua
pengalinya merupakan vektor. Perkalian skalar dari dua vektor A dan B
dinyatakan dengan A• B, alasannya yaitu notasi ini maka perkalian tersebut
dinamakan juga sebagai perkalian titik (dot product).
Kita akan mendefinisikan A• B dengan cara menggambarkan kedua vektor
dengan ekor-ekornya terletak pada titik yang sama. Setelah itu kita cari
komponen vektor yang sejajar di antara keduanya. A• B didefinisikan sebagai
besar vektor A yang dikalikan dengan komponen B yang sejajar dengan A.
B B
q
A A
Gambar 1.3e
Bila C yaitu hasil perkalian skalar antara A dan B maka :
C = A• B = ABcosq ........................................................................... 1.8
Bcosq
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
8
Jika kita mengoperasikan perkalian tersebut dalam notasi vektor, maka kita
akan mendefinisikan beberapa keadaan sebagai berikut :
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1)(1) cos90 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1)(1) cos 0 1
• = • = • = 0 =
• = • = • = =
i j i k j k
i i j j k k
................................................. 1.9
Sehingga kalau vektor A dan B dinyatakan dalam komponen-komponennya,
maka perkalian skalar antara keduanya sanggup dinyatakan sebagai berikut :
A• B = AxBx + AyBy + AzBz ............................................................. 1.10
Penerapan operasi perkalian titik dalam Fisika contohnya yaitu W = F . s,
F = B . A
Hasil dari perkalian ini, baik W maupun berupa skalar.
3.2.2.2. Perkalian silang (cross product)
Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagai perkalian vektor (vektor
product), alasannya yaitu perkalian ini akan menghasilkan vektor lain. Perkalian vektor
antara A dan B dinyatakan dengan A x B.
Kita akan mendefinisikan A x B dengan cara menggambarkan kedua vektor
dengan ekor-ekornya terletak pada titik yang sama. Setelah itu kita cari
komponen vektor yang tegak lurus di antara keduanya. A x B didefinisikan
sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen B yang tegak lurus
dengan A.
B B
q q
A A
Gambar 1.3f
Besarnya vektor gres C sebagai hasil perkalian silang antara A dan B yaitu :
C = AxB = ABsinq ............................................................................ 1.11
Jika kita mengoperasikan perkalian tersebut dalam notasi vektor, maka dengan
menggunakan aturan asisten kita akan mendefinisikan beberapa
keadaan sebagai berikut :
kxi j
jxk i
ixj k
ixi jxj kxk
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1)(1) sin 0 0
=
=
=
= = = =
Bsinq
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
9
Sehingga kalau vektor A dan B dinyatakan dalam komponen-komponennya,
maka perkalian vektor antara keduanya sanggup dinyatakan dalam bentuk
determinan sebagai berikut :
x y z
x y z
B B B
A A A
i j k
AxB
ˆ ˆ ˆ
=
Adapun hasil dari operasi tersebut yaitu :
AxB (AyBz AzBy) i (AzBx-AxBz) j (AxBy-AyBx) k
AxB (AyBz i AzBx j AxBy k)-(AyBx k AzBy i AxBz j)
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
= − + +
= + + + +
.... 1.12
Penerapan operasi perkalian silang dalam Fisika contohnya yaitu t = r x F,
F = q v x B
Hasil dari perkalian ini, baik maupun F merupakan besaran vektor. Karena
hasil yang diperoleh berupa vektor maka arah dari vektor tersebut sanggup dicari
dengan aturan tangan kanan, yaitu dengan cara memutar vektor pertama ke
vektor kedua. Sebagai pola : kalau kecepatan partikel (v) bergerak pada arah
sumbu x (+) dan medan magnet (B) mempunyai arah ke sumbu y (+), maka gaya
(F) akan bergerak ke arah sumbu z (+). Selengkapnya dituliskan sebagai
berikut :
F kˆ = qv iˆ x B ˆj ; hal ini dikarenakan bahwa iˆ x ˆj = kˆ
k
j
i
Gambar 1.3g
Tugas 5
Disediakan 3 buah vektor ibarat pada gambar di bawah ini :
y
370
x
600 400
Tentukan perkalian skalar berikut :
a) A.B; b) B.C; c)A.C
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
10
4. Soal-soal Latihan
4.1. Serangga berturut-turut bergerak 8,0 cm ke arah timur, 5,0 cm ke arah
selatan, 3,0 cm ke arah barat dan 4,0 cm ke arah utara. a) Berapa jauhkah
dalam arah utara dan timur serangga itu telah bergerak dihitung dari titik
awal geraknya. B) Tentukan vektor perpindahan serangga secara
geometris maupun analitis.
4.2. Seorang anak menahan sebuah kereta yang beratnya 150 N di atas
permukaan miring 200. Agar kereta tidak menggelinding (turun) berapa
gaya tarik anak itu? (Ia menarik dalam arah yang sejajar permukaan
miring).
4.3. Ulangi soal no 4.2 diatas, hanya saja kini anak itu menarik kereta
dalam arah 300 dengan permukaan miring!
4.4. Dua buah gaya 80 N dan 100 N bekerja dengan sudut 600 antara keduanya
untuk menarik sebuah benda. a) Carilah satu gaya yang dapat
menggantikan kedua buah gaya tersebut (besar dan arahnya), b) Tentukan
sebuah gaya yang sanggup menghasilkan kesetimbangan antara kedua gaya !
4.5. Diberikan vektor A = 4iˆ + 3 ˆj dan B = 5iˆ − 2 ˆj
r r
, tentukan a) Besar masingmasing
vektor, b) besar dan arah A-B, c) besarnya A . B d) besar dan arah
A x B, dan d) sudut antara kedua vektor!
Selamat belajar, semoga sukses..
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
1
MODUL PEMBELAJARAN I
V E K T O R Kompetensi Dasar :
1. Mahasiswa bisa memahami perbedaan besaran
vektor dan skalar serta menunjukkan contohcontohnya
dalam kehidupan sehari-hari,
2. Mahasiswa bisa melaksanakan operasi
penjumlahan dan perkalian vektor serta
memahami aplikasinya dalam menyelesaikan
berbagai masalah fisika.
1. SKALAR dan VEKTOR
Beberapa besaran fisika ibarat massa, waktu dan suhu sudah cukup jika
dinyatakan dengan suatu bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan
besarnya nilai besaran tersebut. Tetapi banyak besaran lain yang harus
menyertakan masalah arah untuk mendeskripsikan secara lengkap makna
besaran tersebut. Sebagai misal kecepatan sebuah kereta api, untuk
mendeskripsikan gerak tersebut, kita belum cukup hanya menyampaikan seberapa
cepat kereta api berjalan, namun pada ketika bersamaan kita harus mengatakan
ke arah mana kereta bergerak. Tanpa menyebutkan arah gerak kereta, kita
belum memperoleh warta yang bermakna wacana gerak tersebut.
Berdasarkan warta di atas, besaran-besaran fisika kalau ditinjau dari
pengaruh arah terhadap besaran tersebut sanggup dikelompokkan menjadi :
a. Besaran Skalar : besaran yang cukup dinyatakan besarnya saja
(tidak tergantung pada arah). Misalnya : massa, waktu, suhu dsb.
b. Besaran Vektor : besaran yang tergantung pada arah. Misalnya :
kecepatan, gaya, momentum dsb.
Tugas 1
Sebutkan setidaknya sepuluh besaran fisika, lalu kelompokan besaranbesaran
tersebut dalam kategori besaran skalar atau besaran vektor !
Kategori
No Besaran
Skalar Vektor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
2
2. NOTASI VEKTOR
Kita akan mulai mendalami vektor dari sebuah besaran vektor yang paling
sederhana, yaitu perpindahan (dicplacment). Perpindahan didefinisikan
sebagai perubahan posisi dari suatu titik. Deskripsi berikut ini akan lebih
memperjelas pemahaman kita wacana vektor.
Sebuah benda bergerak dari titik A ke titik B melewati sebuah lintasan
lengkung (gambar 1.2a). Vektor perpindahan gerak tersebut ditunjukan oleh
garis terpendek (lurus) dari A ke B (gambar 1.2b) yang berikutnya kita beri
nama sebagai vektor perpindahan R (gambar 1.2c).
Gambar 1.2a Gambar 1.2b Gambar 1.2c
2.1. Notasi Geometris
Notasi geometris yaitu sebuah metode untuk menganalisis vektor dengan
cara menampilkannya dalam bentuk gambar.
2.1.1. Penamaan sebuah vektor
Cara penulisan vektor sanggup dilakukan dengan beberapa cara sebagai berikut :
dengan aksara tebal R atau r
dengan tanda R atau r
r r
2.1.2. Penggambaran vektor :
Vektor digambarkan dengan suatu anak panah (gambar 1.2d).
r
R R
r
Gamabar 1.2d
Panjang anak panah membuktikan besar vektor, sedangkan arah anak panah
menunjukan arah vektor. Kita bisa menggambarkan negatif dari masingmasing
vektor sebagaimana ditunjukan pada Gambar 1.2e.
-r
-R -R
r
Gambar 1.2e
A
B
R
A
B
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
3
2.2. Notasi Analitis
Notasi analitis dipakai untuk menganalisa vektor dengan cara menguraikan
vektor tersebut dalam komponen-komponen penyusunnya. Sebuah vektor a
dalam koordinat kartesian (dua sumbu : x dan y) sanggup dinyatakan dalam
komponen-komponennya, yaitu komponan pada arah sumbu x dan komponen
pada arah sumbu y. Secara lebih terperinci sanggup dilihat pada gambar 1.2f.
z
Gambar 1.2f Gambar 1.2g
ay : besar komponen vektor a dalam arah sumbu y
ax : besar komponen vektor a dalam arah sumbu x
Vektor arah /vektor satuan: yaitu vektor yang besarnya 1 dan arahnya sesuai
dengan yang didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian : i, j, k yang
masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan
sumbu z (gambar 1.2g). Sehingga secara analitik vektor a sanggup ditulis :
a a i a j x y
= ˆ + ˆ
r
........................................................................................... 1.1
dan besar vektor a yaitu :
2 2
x y a = a + a ....................................................................................... 1.2
Tugas 2
Sebuah benda bergerak dari posisi awal (0,0) berhenti pada koordinat (4,5). a)
Gambarkan keadaan tersebut dalam koordinat kartesian, b) tentukan vektor
perpindahan gerak tersebut, dan c) tentukan besar perpindahaan gerak
tersebut.
y
x
a
ax
ay
z
y
x
i j
k
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
4
3. OPERASI VEKTOR
Besaran vektor, sebagaimana besaran skalar sanggup dioperasikan secara
matematis, baik operasi penjumlahan maupun perkalian. Namun demikian
operasi vektor mempunyai beberapa perbedaan dengan operasi skalar karena
dalam operasi vektor kita tidak hanya memperhitungkan besar namun juga
sekaligus arahnya. Simaklah uraian di bawah ini untuk melihat perbedaanperbedaannya!
3.1. Operasi penjumlahan
Disediakan dua buah vektor A dan B sebagaimana ditunjukan pada
gambar 1.3 di bawah ini :
A
B
Gambar 1.3
Kita akan menjumlahkan kedua vektor (A+B) sehingga akan menghasilkan
sebuah vektor gres (C) yang merupakan resultan vektor A dan B. Tanda
positif (+) dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan. Kaprikornus A + B
mempunyai arti vektor A dilanjutkan oleh vektor B. Secara geometris dapat
digambarkan sebagai berikut :
B
A
C
Gambar 1.3a
Opersai pengurangan sanggup dijabarkan dari operasi penjumlahan dengan
menyatakan negatif dari suatu vektor :
B - A = B + (-A)....................................................................................... 1.3
A -A
B
B
B-A -A
Gambar 1.3b
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
5
Tugas 3
Disediakan 3 buah vektor A, B dan C berikut:
Gambarkan penjumlahan dan pengurangan vektor : a) A + B, b) A + C,
c) A – B, d) A + B - C
Berikut akan disajikan beberapa aturan dalam operasi penjumlahan vektor :
a. Hukum komutatif
Sebuah partikel mengalmi perpindahan A, dilanjutkan dengan perpindahan
B. Hasil balasannya yaitu perpindahan C. Seandainya partikel tersebut
terlebih dahulu mengalami perpindahan B, dilanjutkan dengan melakukan
perpindahan A, maka hasil akhirnyapun perpindahan C. Amati kenyataan
tersebut pada gambar di bawah ini :
B
A C A
B
Gambar 1.3c
Hukum komutatif dalam operasi penjumlahan vektor menyatakan bahwa:
A + B = B + A.................................................................................... 1.4
Kenyataan ini membuktikan bahwa urutan suku dalam penjumlahan vektor
tidaklah berpengaruh.
A
B
C
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
6
b. Hukum Asosiatif
Hukum Asosiatif dalam operasi penjumlahan sanggup dinyatakan sebagai
berikut :
(A + B) + C = A + (B + C) = R......................................................... 1.5
B
A
C
Gambar 1.3d
Vektor A dan B sebagaimana yang sudah dicontohkan di atas, jika
dinyatakan secara analitis sanggup ditunjukan dalam bentuk:
B B i B j B k
A A i A j A k
x y z
x y z
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
= + +
= + +
............................................................................. 1.6
Maka opersasi penjumlahan/pengurangan vektor yang dinyatakan secara
analitik sanggup dilakukan dengan cara menjumlah/mengurangi komponenkomponen
yang searah sebagai berikut :
A B A B i A B j A B k
A B A B i A B j A B k
x x y y z z
x x y y z z
( )ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ
( )ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ
− = − + − + −
+ = + + + + +
.................................... 1.7
Tugas 4
Dua buah vektor :
B i j k
A i j k
ˆ ˆ 4 ˆ
4ˆ 3 ˆ ˆ
= − + +
= − +
r
r
Tentukan a) A + B; b) A – B; c) Vektor C semoga A – B + C = 0
(A+B)
(B+C)
R
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
7
3.2. Opersai Perkalian
Besaran vektor alasannya yaitu karakteristiknya yang khas yaitu mempunyai arah
disamping juga mempunyai besar membawa konsekuensi pada operasi
perkaliannya. Operasi perkalian biasa tidak sanggup eksklusif diterapkan pada
vektor. Kita akan mendefinisikan dua macam perkalian vektor, yaitu perkalian
vektor dengan skalar dan perkalian vektor dengan vektor.
3.2.1. Perkalian vektor dengan skalar
Jika sebuah vektor dikalikan dengan suatu skalar maka akan diperoleh sebuah
vektor baru. Jika A dan B yaitu vektor dan k yaitu sebuah skalar maka,
B = k A
Besar vektor B yaitu k kali besar vektor A, sedangkan arah vektor B sama
dengan arah vektor A bila k positip dan berlawanan bila k negatif. Dalam
fisika kita menjumpai operasi semacam ini misalnya:
F = qE ;
q yaitu muatan listrik, sanggup bermuatan positip atau negatif sehingga arah F
tergantung tanda muatan tersebut, sedangkan besar F yaitu q kali besar E.
Contoh lain perkalian besaran vektor dengan skalar dalam fisika yaitu :
F = ma, p = mv, dsb dimana m : skalar dan a,v : vektor.
3.2.2. Perkalian vektor dengan vektor
Perkalian vektor dengan vektor sanggup diklasifikasi menjadi dua macam, yaitu
perkalian vektor yang akan menghasilkan skalar dan perkalian vektor yang
akan menghasilkan vektor lain.
3.2.2.1. Perkalian titik (dot product)
Perkalian dot atau titik disebut juga perkalian skalar (scalar product). Hal itu
dikarenakan perkalian tersebut akan menghasilkan skalar meskipun kedua
pengalinya merupakan vektor. Perkalian skalar dari dua vektor A dan B
dinyatakan dengan A• B, alasannya yaitu notasi ini maka perkalian tersebut
dinamakan juga sebagai perkalian titik (dot product).
Kita akan mendefinisikan A• B dengan cara menggambarkan kedua vektor
dengan ekor-ekornya terletak pada titik yang sama. Setelah itu kita cari
komponen vektor yang sejajar di antara keduanya. A• B didefinisikan sebagai
besar vektor A yang dikalikan dengan komponen B yang sejajar dengan A.
B B
q
A A
Gambar 1.3e
Bila C yaitu hasil perkalian skalar antara A dan B maka :
C = A• B = ABcosq ........................................................................... 1.8
Bcosq
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
8
Jika kita mengoperasikan perkalian tersebut dalam notasi vektor, maka kita
akan mendefinisikan beberapa keadaan sebagai berikut :
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1)(1) cos90 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1)(1) cos 0 1
• = • = • = 0 =
• = • = • = =
i j i k j k
i i j j k k
................................................. 1.9
Sehingga kalau vektor A dan B dinyatakan dalam komponen-komponennya,
maka perkalian skalar antara keduanya sanggup dinyatakan sebagai berikut :
A• B = AxBx + AyBy + AzBz ............................................................. 1.10
Penerapan operasi perkalian titik dalam Fisika contohnya yaitu W = F . s,
F = B . A
Hasil dari perkalian ini, baik W maupun berupa skalar.
3.2.2.2. Perkalian silang (cross product)
Perkalian silang (cross product) disebut juga sebagai perkalian vektor (vektor
product), alasannya yaitu perkalian ini akan menghasilkan vektor lain. Perkalian vektor
antara A dan B dinyatakan dengan A x B.
Kita akan mendefinisikan A x B dengan cara menggambarkan kedua vektor
dengan ekor-ekornya terletak pada titik yang sama. Setelah itu kita cari
komponen vektor yang tegak lurus di antara keduanya. A x B didefinisikan
sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen B yang tegak lurus
dengan A.
B B
q q
A A
Gambar 1.3f
Besarnya vektor gres C sebagai hasil perkalian silang antara A dan B yaitu :
C = AxB = ABsinq ............................................................................ 1.11
Jika kita mengoperasikan perkalian tersebut dalam notasi vektor, maka dengan
menggunakan aturan asisten kita akan mendefinisikan beberapa
keadaan sebagai berikut :
kxi j
jxk i
ixj k
ixi jxj kxk
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1)(1) sin 0 0
=
=
=
= = = =
Bsinq
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
9
Sehingga kalau vektor A dan B dinyatakan dalam komponen-komponennya,
maka perkalian vektor antara keduanya sanggup dinyatakan dalam bentuk
determinan sebagai berikut :
x y z
x y z
B B B
A A A
i j k
AxB
ˆ ˆ ˆ
=
Adapun hasil dari operasi tersebut yaitu :
AxB (AyBz AzBy) i (AzBx-AxBz) j (AxBy-AyBx) k
AxB (AyBz i AzBx j AxBy k)-(AyBx k AzBy i AxBz j)
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
= − + +
= + + + +
.... 1.12
Penerapan operasi perkalian silang dalam Fisika contohnya yaitu t = r x F,
F = q v x B
Hasil dari perkalian ini, baik maupun F merupakan besaran vektor. Karena
hasil yang diperoleh berupa vektor maka arah dari vektor tersebut sanggup dicari
dengan aturan tangan kanan, yaitu dengan cara memutar vektor pertama ke
vektor kedua. Sebagai pola : kalau kecepatan partikel (v) bergerak pada arah
sumbu x (+) dan medan magnet (B) mempunyai arah ke sumbu y (+), maka gaya
(F) akan bergerak ke arah sumbu z (+). Selengkapnya dituliskan sebagai
berikut :
F kˆ = qv iˆ x B ˆj ; hal ini dikarenakan bahwa iˆ x ˆj = kˆ
k
j
i
Gambar 1.3g
Tugas 5
Disediakan 3 buah vektor ibarat pada gambar di bawah ini :
y
370
x
600 400
Tentukan perkalian skalar berikut :
a) A.B; b) B.C; c)A.C
MODUL KULIAH FISIKA DASAR I
Oleh : Sabar Nurohman,S.Pd.Si
10
4. Soal-soal Latihan
4.1. Serangga berturut-turut bergerak 8,0 cm ke arah timur, 5,0 cm ke arah
selatan, 3,0 cm ke arah barat dan 4,0 cm ke arah utara. a) Berapa jauhkah
dalam arah utara dan timur serangga itu telah bergerak dihitung dari titik
awal geraknya. B) Tentukan vektor perpindahan serangga secara
geometris maupun analitis.
4.2. Seorang anak menahan sebuah kereta yang beratnya 150 N di atas
permukaan miring 200. Agar kereta tidak menggelinding (turun) berapa
gaya tarik anak itu? (Ia menarik dalam arah yang sejajar permukaan
miring).
4.3. Ulangi soal no 4.2 diatas, hanya saja kini anak itu menarik kereta
dalam arah 300 dengan permukaan miring!
4.4. Dua buah gaya 80 N dan 100 N bekerja dengan sudut 600 antara keduanya
untuk menarik sebuah benda. a) Carilah satu gaya yang dapat
menggantikan kedua buah gaya tersebut (besar dan arahnya), b) Tentukan
sebuah gaya yang sanggup menghasilkan kesetimbangan antara kedua gaya !
4.5. Diberikan vektor A = 4iˆ + 3 ˆj dan B = 5iˆ − 2 ˆj
r r
, tentukan a) Besar masingmasing
vektor, b) besar dan arah A-B, c) besarnya A . B d) besar dan arah
A x B, dan d) sudut antara kedua vektor!
Selamat belajar, semoga sukses..
Mahasiswa Bisa Memahami Perbedaan Besaran
4/
5
Oleh
Anonim
